Lieu géométrique et nombres complexes (2) - Corrigé

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Énoncé

Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , on note \(Z=z^2-4\overline{z}+2\) .

1. Déterminer l'ensemble \(\mathscr{E}_1\) des points \(\text M(z)\) tels que  \(Z\) soit réel.

2. Déterminer l'ensemble \(\mathscr{E}_2\)  des points \(\text M(z)\) tels que  \(Z\)  soit imaginaire pur.

Solution

1. On pose \(z=x+iy\) avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) . On a : \(\begin{align*}Z=z^2-4\overline{z}+2& = (x+iy)^2-4(x-iy)+2\\& = x^2+2ixy-y^2-4x+4iy+2\\& = (x^2-y^2-4x+2)+i(2xy+4y)\end{align*}\)
Par conséquent :
\(\begin{align*}Z \in \mathbb{R}& \Longleftrightarrow 2xy+4y=0\\ & \Longleftrightarrow 2y(x+2)=0\\ & \Longleftrightarrow y=0 \text{ ou } x+2=0\\ & \Longleftrightarrow y=0 \text{ ou } x=-2\end{align*}\)
Finalement, l'ensemble \(\mathscr{E}_1\) est la réunion des droites d'équations \(y=0\)  et \(x=-2\) .
D'un point de vue algébrique, \(\mathscr{E}_1=\left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon\text I\text m(z)=0 \right\rbrace \cup \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text R\text e(z)=-2 \right\rbrace\) .

2. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) . On a :
\(\begin{align*}Z \in i\mathbb{R}& \Longleftrightarrow x^2-y^2-4x+2=0\\ & \Longleftrightarrow y^2=(x-2)^2\\ & \Longleftrightarrow y=x-2 \text{ ou } y=2-x\end{align*}\)
Finalement, l'ensemble \(\mathscr{E}_2\) est la réunion des droites d'équations \(y=x-2\) et \(y=2-x\) .
D'un point de vue algébrique, \(\mathscr{E}_2= \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text I\text m(z)=\text R\text e(z)-2 \right\rbrace \cup \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text I\text m(z)=2-\text R\text e(z) \right\rbrace\)

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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