Énoncé
Pour tout
\(z \in \mathbb{C}\)
, on note
\(Z=z^2-4\overline{z}+2\)
.
1. Déterminer l'ensemble
\(\mathscr{E}_1\)
des points
\(\text M(z)\)
tels que
\(Z\)
soit réel.
2.
Déterminer l'ensemble
\(\mathscr{E}_2\)
des
points
\(\text M(z)\)
tels que
\(Z\)
soit imaginaire pur.
Solution
1. On pose
\(z=x+iy\)
avec
\(x \in \mathbb{R}\)
et
\(y \in \mathbb{R}\)
. On a :
\(\begin{align*}Z=z^2-4\overline{z}+2& = (x+iy)^2-4(x-iy)+2\\& = x^2+2ixy-y^2-4x+4iy+2\\& = (x^2-y^2-4x+2)+i(2xy+4y)\end{align*}\)
Par conséquent :
\(\begin{align*}Z \in \mathbb{R}& \Longleftrightarrow 2xy+4y=0\\ & \Longleftrightarrow 2y(x+2)=0\\ & \Longleftrightarrow y=0 \text{ ou } x+2=0\\ & \Longleftrightarrow y=0 \text{ ou } x=-2\end{align*}\)
Finalement, l'ensemble
\(\mathscr{E}_1\)
est la réunion des droites d'équations
\(y=0\)
et
\(x=-2\)
.
D'un point de vue algébrique,
\(\mathscr{E}_1=\left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon\text I\text m(z)=0 \right\rbrace \cup \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text R\text e(z)=-2 \right\rbrace\)
.
2. Soit
\(x \in \mathbb{R}\)
et
\(y \in \mathbb{R}\)
. On a :
\(\begin{align*}Z \in i\mathbb{R}& \Longleftrightarrow x^2-y^2-4x+2=0\\ & \Longleftrightarrow y^2=(x-2)^2\\ & \Longleftrightarrow y=x-2 \text{ ou } y=2-x\end{align*}\)
Finalement, l'ensemble
\(\mathscr{E}_2\)
est la réunion des droites d'équations
\(y=x-2\)
et
\(y=2-x\)
.
D'un point de vue algébrique,
\(\mathscr{E}_2= \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text I\text m(z)=\text R\text e(z)-2 \right\rbrace \cup \left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text I\text m(z)=2-\text R\text e(z) \right\rbrace\)
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